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2021年硕士研究生《数学(一)》真题试卷及答案大全

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更新时间:2026-04-10

2021年硕士研究生《数学(一)》真题提供该考试科目的试卷全部试题及答案大全,科目内容齐全,答案供学员学习免费使用,助力考试通关!

第1题、 [单选题]

A.连续且取得极大值

B.连续且取得极小值

C.可导且导数为零

D.可导且导数不为零

答案如下:
D
第3题、 [单选题] 设函数处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3,则(  ).

A.a=1,b=0,c=-

B.a=1,b=0,c=

C.a=-1,b=-1,c=-

D.a=-1,b=-1,c=

答案如下:
A
第11题、 [填空题]
答案如下:

【解析】
第12题、 [填空题]
答案如下:

【解析】
 

第13题、 [填空题] 欧拉方程x2y”+xy’-4y=0满足条件y(1)=1,y’(1)=2的解为______.
答案如下:
y=x2
 【解析】
作变换x=et,则y'(t)=y’(x)et=xy'(x),
y”(f)=x’(t)y’(x)+xy”(x)x’(t)=xy'(x)+x2y”(x)=y’(t)+x2y”(x),
则原方程可转化为y”(t)-y’(t)+y’(t)-4y(t)=0,即y”(t)-4y(t)=0,
其特征方程为λ2—4=0,特征根为λ1=2,λ2=-2,
则该方程的通解为,又y(1)=1,y’(1)=2,
故C1=1,C2=0,所以y=x2.
第14题、 [填空题] 设三为空间区域{(x,y,z)|x2+4y2≤4,0≤z≤2}表面的外侧,则曲面积分
y2dzdx+zdxdy=______.
答案如下:

 【解析】
由高斯公式得
,其中Ω为∑围成的封闭区域.
由于图形关于xOz平面对称,所以
同理,由于图形关于yOz平面对称,所以
第15题、 [填空题] 设A=(aij)为三阶矩阵,Aij为元素aij的代数余子式.若A的每行元素之和均为2,且|A|=3,则A11+A21+A31=______.
答案如下:

【解析】
因为A的每行元素之和均为2,所以

,故A*的每行元素之和均为
第17题、 [主观题]
答案如下:

第18题、 [主观题]
答案如下:


第19题、 [主观题] 已知曲线求C上的点到xOy坐标平面距离的最大值.
答案如下:
设c上的点(x,y,z)到xOy坐标平面的距离为d,则d=|z|
根据题意,目标函数为f(x,y,z)=z2,约束条件是x2+2y2-z-6=0及4x+2y+z-30=0.
构造拉格朗日函数F(x,y,z,λ,μ)=z2+λ(x2+2y2-z-6)+μ(4x+2y+z-30),则
第20题、 [主观题] 设DR2是有界单连通闭区域,

取得最大值的积分区域记为D1
(Ⅰ)求I(D1)的值;
(Ⅱ)

其中D1是D1的正向边界.
答案如下:
(Ⅰ)要使取得最大值,则D应该包含所有使得被积函数f(x,y)=4-x2-y2≥0并且D中不能包含使得f(x,y)=4-x2-y2<0的区域,故D1={(x,y)x2+y2≤4},

又Q(x,y),P(x,y)在D1围成的区域D1上有奇点,所以要补充曲线L:x2+4y2=ε2,ε>0足够小,取顺时针方向,且L围成的区域为D”,则Q(x,y),P(x,y)在D1与L围成的区域D’上满足格林公式的条件,
第21题、 [主观题]
(Ⅰ)求正交矩阵P,使PTAP为对角矩阵;
(Ⅱ)求正定矩阵C,使C2=(a+3)E-A,其中E为三阶单位矩阵.
答案如下:
(I)

所以A的特征值为λ1=λ2=a-1,λ3=a+2.
当λ1=λ2=a-1时,|A-(a-1)E|x=0,